[Alp]

1. "Ve" Bağlacı


p ve q önermeleri arasında "ve" bağlacı kullanılarak "p ve q" bileşik önermesini elde etme işlemine "ve" işlemi denir. "p Λ q" ile gösterilir.


p Λ q önermesi p ve önermelerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir.

p  q  p Λ q

1  1    1

1  0    0

0  1    0

0  0    0

Pratik Yöntem:
p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın çarpımıdır.






Özellikler
Her p, q, r önermesi için


1. p Λ p ≡ p dır.
2. p Λ q ≡ q Λ p
3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
4. 1 Λ p ≡ p Λ 1 ≡ p
5. 0 Λ p ≡ p Λ 0 ≡ 0
6. p Λ p' ≡ p' Λ p ≡ 0


Matematikteki “Λ” bağlacı ile konuşma dilindeki “ve” bağlacı farklı anlamlar taşıyabilir.




2. “Veya" Bağlacı


p ve q önermeleri arasına “veya” bağlacı kullanılarak “p veya q” önermesini elde etme işlemine denir. “ V “ bağlacı ile gösterilir. p V q önermesinde toplama işlemi geçerlidir.

p  q  p V q

1  1    1

1  0    1

0  1    1

0  0    0

Pratik Yöntem:
p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın toplamı gibidir. ilk durumda 2 çıkmaktadır. 2 diye doğruluk değeri yoktur. Onu da 1 alırız.


Özellikleri
Her p, q, r önermesi için


1. p V p ≡ p
2. p V q ≡ q V r
3. (p V q) V r ≡ p V (q V r)
4. 0 V p ≡ p V 0 ≡ p
5. 1 V p ≡ p V 1 ≡ 1
6. p V p' ≡ p' V p ≡ 1








3. İse ( Şart Gerektirme) Bağlacı


p ve q önermelerinden “ p ise q” bileşik önermesini p ve q önermelerinden “p ise q” bileşik önermesini elde etme işlemine şart (ise) işlemi denir ve ( p ⇒ q) şeklinde gösterilir.
p ⇒ q önermesinde p doğru q yanlış iken p ⇒ q yanlış diğer durumlarda doğrdur.

p  q  p ⇒ q

1  1    1

1  0    0

0  1    1

0  0    1

En önemli özelliği her p ve q önermesi için;
p ⇒ q ≡ p' V q dir.


Diğer Özellikleri


1. p⇒p ≡ 1
2. p⇒1 ≡ 1
3. 1⇒p ≡ p
4. 0⇒p ≡ 1
5. p⇒0 ≡ p'
6. p⇒p' ≡ p'
7. p'⇒p ≡ p




Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıtı Tersi


q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir.
p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.
q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.








4. "Ancak ve Ancak" Bağlacı (⇔)


p ve q herhangi iki önerme olmak üzere (p ⇒ q ) Λ (q⇒p) önermesine koşullu ya da iki yönlü önerme denir.
o ⇔ q bileşik önermesinde p ile q aynı doğruluk değerlerine sahipseler. p⇔q önermesi doğru değer durumlarda yanlıştır.

p  q  p ⇔ q

1  1    1

1  0    0

0  1    0

0  0    1

Özellikleri
Her p, q önermesi için


1. p⇔p ≡ 1
2. p⇔p' ≡ 0
3. p⇔1 ≡ p
4. p⇔0 ≡ p'
5. p⇔q ≡ p'⇔q'






----------------------------------------------------------------
Önermeler Cebrinin Özellikleri


1. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r) “Λ’ nin “V” üzerine soldan dağılma özelliği”
2. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r) “V” nin “Λ” üzerine soldan dağılma özelliği”
3. (p')' ≡ p
4. (1)' ≡ 0, (0)' ≡ 1
5. ( p Λ q)' ≡ p' V q'
(p V q)' ≡ p' Λ q' ( DE MORGAN)
6. p ⇒ q ≡ p' V q




Uyuşma (Totoloji) Ve Çelişme


Değişkenleri yerine yazılacak her bir önerme için doğru olan önerme ifadelerine totoloji yanlış olan önerme ifadelerine ise çelişme adı verilir.

[duygu95]

ÖRNEK 1:

(pvq)Λ(p'→q)'

önermesinin doğruluk değeri nedir ?

ÇÖZÜM 1:

İse işleminin özelliğinin

p→q=p'vq olduğunu yukarıda öğrenmiştik.

O halde (pvq)Λ(p'→q)' ifadesinde kırmızı ile işaretlediğim ifadeyi ayrı inceleyelim.

önce parantez içine bakalım p'→q=pvq olur. Şimdi ifadenin tümünde bakalım

(pvq)Λ(pvq)' ise pvq=r diyelim

rΛr'≡0 bulunur.




ÖRNEK 2:

(p'vq)→(p→q)'

önermesi neye denktir ?

ÇÖZÜM 2:

(p'vq)→(p→q)'

≡(p'vq)→(p'vq)'

≡(p'vq)'v(p'vq)'

≡(p'vq)'

≡pΛq' bulunur.


ÖRNEK 3:

(p V q)′ V (p ⇒ q)′

önermesi neye denktir ?

ÇÖZÜM 3:

(p V q)′ V (p ⇒ q)′ ≡ (p V q)′ V (p′ V q )′
≡ [(p V q) Λ (p′V q )]′
≡ [(p Λ p′) V q]′
≡ (0 V q)′
≡ q′ olur.


ÖRNEK 4:

(p′ V q)′ V (p Λ q) bileşik önermesini en sade şekilde yazınız.

ÇÖZÜM 4:

(p′ V q)′ V (p Λ q) ≡ (p Λ q′) V (p Λ q)
≡ p Λ (q′ V q)
≡ p Λ1
≡ p olur.

[duygu95]

ÖRNEK 5:

(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 olduğuna göre, (q ⇔ r) ⇒ p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.


ÇÖZÜM 5:

(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 ise p ⇒ q′ ≡ 0 ve r′ ≡ 0 olmalıdır.
p ⇒ q′ ≡ 0 ise p ≡1 ve q′ ≡ 0 olur.
Buradan, p ≡1, q ≡ 1 ve r ≡ 1 elde edilir.
Bu doğruluk değeri, istenen bileşik önermede uygularsak,
(q ⇔ r) ⇒ p; (1⇔1) ⇒ 1; 1 ⇒ 1 ≡ 1 olur.
O halde, bu bileşik önerme doğrudur.



ÖRNEK 6:

“ x bir çift sayı ise x² çift bir sayıdır.” bileşik önermesi veriliyor. Bu bileşik önermenin karşıt, ters ve karşıt ters koşullu önermeleri nedir?


ÇÖZÜM 6:

Verilen bileşik önermede;
hipotez: “x bir çift sayıdır.”
hüküm: “x² çift bir sayıdır.”
Karşıt: “x² çift bir sayı ise x bir çift sayıdır.”
Tersi : “x bir çift sayı değil ise x² çift bir sayı değildir.”
Karşıt tersi: “x² çift bir sayı değil ise x bir çift sayı değildir.”

[matci]

*****



*****